Лабораторная работа № 319 V , 0 2 (4) где – оператор Лапласа, – объемная плотность заряда. Знак минус обусловлен знаком пространственного заряда. Объемная плотность заряда связана с плотностью тока j cледующим образом: (5) j n e v v , где n – число электронов в единице объема, е – заряд электрона, v – скорость направленного движения электронов. Здесь знак минус показывает, что направление тока противоположно скорости движения носителей заряда. Так как I j , (6) S где S – площадь боковой поверхности цилиндра радиуса r, то для объемной плотности заряда получится следующее выражение: I , (7) 2 r L v где L – длина рабочей части катода. Скорость электронов в произвольной точке можно определить из условия 2 mv eV 2 следующим образом: 2eV v . (8) m Учитывая осевую симметрию электродов и такую же геометрию электрического поля в диоде (рис.5), запишем уравнение Пуассона (4) в цилиндрической системе координат через переменные r,, z 2 2 1 V 1 V V 2 . (9) r 2 2 r r r r 0 z В этом уравнении производная по равна нулю в силу осевой симметрии поля, а производная по z равна нулю, исходя из сделанного выше допущения о длинных цилиндрических электродах (п.1). С учетом сказанного уравнение (9) будет уравнением одной переменной r. Подставим выражения (7) и (8) в уравнение (9), получим следующее дифференциальное уравнение: d dV 1 / 2 , (10) r CV dr dr 2 65