Лабораторная работа № 320 где U – разность потенциалов между анодом и катодом (анодное напряжение), ra – радиус анода, rk – радиус катода, r – расстояние от оси до произвольной точки N в межэлектродной области. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат (3) Fer eEr , Fe 0, Fez 0. Со стороны магнитного поля на электрон действует сила Лоренца Fm (4) Fm e v B , которую в проекциях можно записать так (с учетом знака заряда): (5) Fmr ev B , Fm evr B , (6) где vr r dr dt , (7) v r r d / dt . Итак, ни электрическая, ни магнитная сила не имеют составляющих вдоль оси z, поэтому движение электрона вдоль оси цилиндров будет равномерным. Движение в плоскости (r,) опишем уравнением моментов относительно оси z. d J z M z , (8) dt 2 где Jz – момент инерции электрона относительно оси z, который равен mr , Mz – сумма моментов всех сил, действующих на электрон, в проекции на ось z. Только момент силы Fm отличен от нуля и равен rFmsin(r, Fm) M z erv r B . (9) Подставляя значения всех величин в формулу (8), получим следующее дифференциальное уравнение: 2 d dr d 1 dr 2 2 mr erB , или mr eB . (10) dt dt dt 2 dt Проинтегрировав уравнение (10), получим его решение 2 e Br 2 r C , (11) 2m где С – постоянная интегрирования, которую следует определить из граничных условий. В начале движения координата r равна радиусу катода rk , скорость электронов, покидающих катод, равна нулю: v=0 и =0. 2 e Brk C . 2m В таком случае из уравнения (11) получается, что электрон в плоскости (r,) движется с угловой скоростью 77