4.1. Ïîíÿòèå î ñèñòåìàõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

Óìíîæàÿ îòäåëüíûå óðàâíåíèÿ íà ïîäõîäÿùèå ìíîæèòåëè è ñêëàäûâàÿ,
èíîãäà óäàåòñÿ ïîëó÷èòü óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå òîëüêî äâå ïåðåìåííûå
xi è xj . Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, íàõîäèì îäèí èç n − 1 èíòåãðàëîâ
ñèñòåìû f (xi , xj ) = C .
Ïðèìåð 4.5. åøèòü ñèñòåìó
′

2

y = y + y z,
′

z = yz +z

2

ìåòîäîì èíòåãðèðóåìûõ êîìáèíàöèé.
◭ Ñëîæèì ïåðâîå è âòîðîå óðàâíåíèÿ:
′

′

2

èëè

2

y +z = y +2yz +z ,

′

2

(y + z) = (x + y) .

Îòñþäà
d(y + z)
1
= dx ⇒ −
= x + C1 .
y+z
y+z

Òåïåðü ïîäåëèì ïåðâîå íà âòîðîå:
dy
y (y + z)
=
,
dz
z (y + z)

èëè

dy
y
=
⇒ y = C2 z.
dz
z

Ïîäñòàâèì y = C2 z â ïåðâîå ðåøåíèå:
1
1
= x + C1 ⇒ z = −
.
−
C2 z + z
(C2 + 1) (x + C1 )

Òîãäà
C2
y = C2 z = −
.
(C2 + 1) (x + C1 )

◮

 ñëó÷àå ëèíåéíîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè èíòåãðèðóåìàÿ êîìáèíàöèÿ åñòü óðàâíåíèå ñ ðàçäåëåííûìè ïåðåìåííûìè, â ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû  ëèíåéíîå óðàâíåíèå
ïåðâîãî ïîðÿäêà. Êàæäàÿ èíòåãðèðóåìàÿ êîìáèíàöèÿ äàåò îäèí ïåðâûé
èíòåãðàë; åñëè ÷èñëî èõ ðàâíî ÷èñëó óðàâíåíèé ñèñòåìû, òî èíòåãðèðîâàíèå çàêîí÷åíî; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ìû ïîëó÷àåì ñèñòåìó ñ ìåíüøèì
÷èñëîì íåèçâåñòíûõ óíêöèé.
 ñëó÷àå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (îäíîðîäíûõ èëè íåîäíîðîäíûõ) ñòàðàþòñÿ, êîìáèíèðóÿ äàííûå óðàâíåíèÿ, îáðàçîâàòü òàêîå âûðàæåíèå èç
145