УТВ_1.10. Комплексная плоскость взаимно однозначно отображается на сферу Римана
Риман
предложил
применять
для
геометрического
представления
комплексной плоскости сферу (см. рис.2).
Вместе с координатами х, у в плоскости C
рассмотрим трёхмерную прямоугольную
систему координат ξ, η, ζ, такую, что оси ξ,
η совпадают с осями х, у, а ось ζ им
перпендикулярна.
Поместим в это пространство сферу S,
1 2 1
2
2
Рис. 2
S: ( ) ,
касающуюся
2
4
плоскости C в начале координат своим
южным полюсом.
Каждой точке z(x, y) = x + iy ∈ C поставим в соответствие точку P(ξ, η, ζ ) сферы,
получающуюся при пересечении луча, проведённого через точку z и северный полюс N
сферы, со сферой. Очевидно, соответствие z ↔ P однозначно отображает плоскость С на
сферу с единственной исключённой точкой – северным полюсом N. Такое соответствие z↔ P
называется стереографической проекцией.
Формулы стереографической проекции:
x ,
2
1 z
x
y
1
,
формулы
обратного
преобразования
имеют
вид
.
2
1 z
y
2
1
z
2
1 z
Условимся считать, что точка N на сфере S соответствует бесконечно удалённой
точке z . Тем самым установим взаимно однозначное отображение плоскости на сферу
S. Такую пополненную плоскость будем называть замкнутой комплексной плоскостью и
обозначать С , а сферу S – сферой Римана. Если не прибегать к стереографической проекции,
то несобственная точка z = ∞ рассматривается как единственная предельная точка любой
последовательности {zn} комплексных чисел таких, что |zn| → ∞ при n → ∞ независимо от
того, по какому пути точки последовательности удаляются от начала координат.
Замечание 9.1
Сфера Римана S является ограниченным, замкнутым и, как следствие, компактным
множеством. Поэтому добавление к множеству комплексных чисел С бесконечно удалённой
точки z называют компактификацией множества С, а расширенную комплексную
плоскость С – компактифицированной комплексной плоскостью.
8