Комплексный анализ

Комплексный анализ
D  C , область значений функций

Область определения

w  ch z, w  sh z,

E C.

Гиперболические функции w  chz , w  shz однозначны на D, периодичны с мнимым
периодом   2i : ch( z  2ik )  chz, k  Z , sh( z  2ik )  shz, k  Z .
Гиперболические функции не однолистны на D. Рассмотреть доказательство этого факта
самостоятельно.
Для гиперболических функций справедлив ряд тождеств, аналогичных тождествам для
функций действительных переменных. Например, ch z  sh z  1. Доказать все тождества
2

2

можно из определений этих функций.
6. Тригонометрические функции w  cos z , w  sin z , w  tgz , w  ctgz .
Определим функции следующим образом:

e e
cos z 
2
iz

 iz

e e
, sin z 
2i
iz

 iz

sin z
cos z
, ctgz 
, tgz 
.
cos z
sin z

Из определения найдём действительную и мнимую части функции. Рассмотрим функцию

w  sin z :
 iz

ix y

 ix y

ix  y

 ix

y

e e
e
e
e e e e
e (cos x  i sin x)  e (cos x  i sin x)
w  sin z 




2i
2i
2i
2i
y
y
y
y
(e  e ) cos x  i(e  e ) sin x

 sin xchy  i cos xshy . Таким образом
2i
iz

y

y

u ( x, y)  sin xchy
.
sin z  
v( x, y)  cos xshy
Область определения функций w  cos z , w  sin z D  C , область значений E  C .
Тригонометрические функции w  cos z, w  sin z однозначны на D, периодичны с периодом

  2 : cos( z  2k )  cos z, k  Z , sin( z  2k )  sin z, k  Z . Тригонометрические функции
не являются однолистными на D.
Для тригонометрических функций справедлив ряд тождеств, аналогичных тождествам для
функций действительных переменных. Например, cos z  sin z  1 .
2

2

Докажем тождество:

e e
cos z  sin z  
2

2

2

iz

iz

2

 e e
  
2
i
 
iz

iz

2


e
 


2 2 4
    1.
4 4 4

22

2 iz

2e
4

 2 iz



e

2 iz

2e
4

 2 iz

