Доказательство ~ ~ f ( z) H ( D) =( f ( D) D ) S (D) = dudv | J | dxdy | f ( z ) | dxdy = = . 2 ~ D D D Следствие 3.10.2. Пусть f ( z) H ( D) и f ' ( z) 0 в области D длина образа кривой D равна . | f ( z ) || dz | Доказательство: f ( z) H ( D) , D =( 1 f () ) длина кривой 1 : l (1 ) вычисляется по формуле l (1 ) = | d | = | f ( z ) || dz | . 1 Основные примеры и их решение 1. Определить, является ли функция С–дифференцируемой в точке, аналитической в точке. 2. Определить, является ли функция С–дифференцируемой в области D, аналитической в области D. 3. Найти множество С – дифференцируемости и область аналитичности функции. 4. Найти производную функции. 5. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке, в области. 6. Проверить, является ли пара функций u(x,y); v(x,y), определённых в области D, сопряжённой парой гармонических функций. 7. Восстановить голоморфную функцию по известной действительной или мнимой части. 8. Доказать простейшие свойства аналитических функций. Задание 1 Дана функция (): ⊆ → , точки 1 , 2 ∊ . Проверить, будет ли функция () дифференцируемой и аналитической в точках 1 , 2 . Найти область дифференцируемости и область аналитичности (). a) () = ∙ , 1 = 0, 2 = ; b) () = ∙ , 1 = 0, 2 = ; 2 c) () = ∙ − 3 + 1, 1 = 0, 2 = . Решение: a) Выпишем действительную и мнимую части функции () = ∙ . 36