УТВ_4.5.2. Теорема Коши для многосвязной области Если f ( z ) H ( D ) , D – многосвязная область, D гладкий контур f ( z )dz 0 . D Следствие_4.5. Независимость интеграла от пути интегрирования Если f ( z) H ( D) , D – односвязная область, D – незамкнутая кривая f ( z )dz не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек интегрирования. Доказательство Пусть f ( z) H ( D) , D – односвязная область, D – незамкнутая кривая =(пусть А – начальная точка интегрирования, В – конечная точка) построим замкнутый контур, соединив точки А, В гладкой кривой 1 (см. рис. 14) Рис. 14. f ( z )dz L f ( z )dz AMB f ( z )dz BNA f ( z )dz AMB f ( z )dz 0 (по теореме Коши 4.5.1) ANB f ( z )dz AMB f ( z )dz . ANB УТВ_4.6. Теорема о первообразной аналитической функции z Пусть f ( z) H ( D) a D функция F ( z ) f ( )d , z D является аналитической в a D и F ' ( z) f ( z), z D . УТВ_4.7. Теорема об общем виде первообразной Пусть f (z ) непрерывна в области D и интеграл от этой функции по любой замкнутой z кривой, лежащей в области D , равен нулю. Тогда функция F ( z ) f ( )d a первообразная функции f (z ) . Замечание к УТВ. 4.6 и 4.7 Если F(z) – первообразная функции f(z) в области D, F ( z) H ( D) Ф( z) F ( z) c – первообразная функции f(z) c C . 47 есть