lim z z 0 f z lim m z k z z0 m z k 1 lim z k cos z k z k z cos z sin z 1k lim z k m m 1 z sin z sin z z k lim m z k m 1 z k m 1 k z k lim m z k sin z 0 при m 1 Значит, z k k – простые полюса. Пример 9. Найти нули функции f (z ) и определить их порядок: 8 z 2 3 sin z tgz а) f ( z) 1 cos z ; б) f ( z ) ; в) f(z) (z 1) shz ; г) f ( z) e e , z 0. z sin z Решение а) Приравнивая f (z ) к нулю, получим cos z 1 , откуда z n ( 2n 1) , n 0,1,... – нули данной функции. Далее f 2n 1 sin 2n 1 0; f 2n 1 cos2n 1 1 0. Следовательно, точки z n ( 2n 1) , n 0,1,... являются нулями второго порядка данной функции. б) Приравнивая f (z ) к нулю, имеем z 0 . Определим порядок нуля z 0 . Используя разложение sin z в ряд Тейлора в окрестности точки z 0 0 , получим 8 z f ( z) z sin z z 8 8 5 z z 5 z z , 3 5 2 3 5 z z 1 z z z ... ... z z ... 3 ! 5 ! 3 ! 5 ! 3 ! 5 ! 1 где z . 2 1 z ... 3! 5! Очевидно, что (z ) является аналитическойя в точке z 0 и (0) 6 0 . Следовательно, z 0 является для данной функции нулём пятого порядка. в) Полагая f ( z ) 0 , получим z 1 sh z 0, откуда z 1 0 или sh z 0. Решая эти 2 3 2 уравнения, находим нули функции f (z ) : z i, z i, z ki, k 0,1,2,.... Пусть z i , тогда f (z ) можно представить в виде f ( z) ( z i) z , где z z i sh( z) является аналитической в точке z i , 3 3 причём i 8i sh i 8 sh 1 0 . Это означает, в силу (21), что точка z i есть нуль третьего порядка. Аналогично доказывается, что и точка z i является нулём третьего порядка. 76