Комплексный анализ

Комплексный анализ
Значит z  k , k  1,2,... – полюсы. Определим порядок полюсов z k  k , k  1,2,... .
Воспользуемся

lim z  z0  f z   lim
m

z k

z  z0

z  k  z cos z  sin z    1k
m

z sin z

mz  k 
  1 lim
z k
cos z

m1

k

 lim mz  k 

m1

z k

z  k 

m

lim

z k

  1

k

sin z



z  k  
lim

m




sin z 

z k

 0 при m  1.

Значит, z k  k – простые полюса.
г) Изолированные особые точки f  z  



1

z z 4
2

– это нули знаменателя, то есть z  0,



2

z  2i , z  2i , кроме того, z   . Определим характер этих особых точек. Рассмотрим
lim f z   lim
z 0

z 0



z z 4

lim f  z   lim

z 2i

z 2i

lim f  z   lim
z 

z 

1
2





2

1

z z 4
2

1



z z 4
2



2

   z  0 – полюс;



2

   z  2i – полюсы;

 0  z   – устранимая особая точка.

Найдём порядок полюсов:
lim  z  z 0  f  z   lim  z  0
m

z  z0

m

z 0



1

z z 4
2



2

 lim

z 0

z

z
2

m 1

4



2

1
m 1
 lim z
0
16 z 0

при m  1  z  0 – простой полюс.
lim  z  z 0  f  z   lim  z  2i 
m

z  z0

z 2i

m

1

z  z  2i   z  2i 
2

2



1

2i4i 

lim  z  2i 

m2

2 z 2i

0

при m  2  z  2i – полюс второго порядка.
Аналогично можно доказать, что z  2i – полюс второго порядка.
Пример 11. Определить тип изолированных особых точек
а) f  z  

e

z

z  2i z  i 

2

;

б) f z   tg z ;

1
в) f  z   sin z  sin ;
z

1
z

г) f  z   e .

Решение
а) изолированными особыми точками f  z  

e

z

z  2i z  1

2

являются z1  2i , z 2  1 и


1
1
z  2i  z  1
z 3   . Для определения характера этих точек перейдём к

.
Для
z
f z 
f z 
e
2

79