6. ВЫЧЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ ВЫЧЕТОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ Основные понятия Пусть f ( z) H ( D \ {a}), z a C – изолированная особая точка функции f(z). Параметры resf ( z ) C Понятие Определяющее понятие и его обозначение и видовые признаки Вычет в конечной a точке z = a. Вычет в бесконечно res f (z ) удаленной точке f ( z ) H ( D), Логарифмический вычет a C в точке z=a f ( z ) H ( D ), D L Логарифмический вычет 1 : z a , где resf ( z ) f ( z ) dz 2i a 1 1 res f ( z ) f ( z ) dz f ( z ) dz 2i _ _ _ 2i относительно контура L Обозначение «Res» происходит от французского слова residu – «остаток». Понятие вычета ввел французский математик О. Коши (1789–1852), рассматривая разность значений интегралов от функции по таким двум путям, имеющим общие начало и конец, что полюсы функции лежат между этими путями. Отметим сразу, что если z = а является точкой аналитичности функции f(z), то по теореме Коши для односвязной области вычет этой функции в точке z = а равен нулю. Так что о вычете функции в конечной точке z = а целесообразно говорить, если z = а является изолированной особой точкой этой функции. Именно с такими точками связана теория вычетов. Основные утверждения УТВ_6.1. Теорема Коши о вычетах Пусть функция f ( z) H ( D \ {a1 ,..., an }) , a1 ,..., a n изолированные особые точки функции. Тогда D n f ( z )dz 2i res f ( z ). k 1 ak 84