6. ВЫЧЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ ВЫЧЕТОВ
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Основные понятия
Пусть f ( z) H ( D \ {a}), z a C – изолированная особая точка функции f(z).
Параметры
resf ( z ) C
Понятие
Определяющее понятие
и его обозначение
и видовые признаки
Вычет в конечной
a
точке z = a.
Вычет в бесконечно
res f (z )
удаленной точке
f ( z ) H ( D),
Логарифмический вычет
a C
в точке z=a
f ( z ) H ( D ),
D L
Логарифмический вычет
1
:
z
a
,
где
resf ( z )
f
(
z
)
dz
2i
a
1
1
res f ( z )
f
(
z
)
dz
f
(
z
)
dz
2i _ _ _
2i
относительно контура L
Обозначение «Res» происходит от французского слова residu – «остаток». Понятие
вычета ввел французский математик О. Коши (1789–1852), рассматривая разность значений
интегралов от функции по таким двум путям, имеющим общие начало и конец, что полюсы
функции лежат между этими путями. Отметим сразу, что если z = а является точкой
аналитичности функции f(z), то по теореме Коши для односвязной области вычет этой
функции в точке z = а равен нулю. Так что о вычете функции в конечной точке z = а
целесообразно говорить, если z = а является изолированной особой точкой этой функции.
Именно с такими точками связана теория вычетов.
Основные утверждения
УТВ_6.1. Теорема Коши о вычетах
Пусть функция f ( z) H ( D \ {a1 ,..., an }) , a1 ,..., a n изолированные особые точки функции.
Тогда
D
n
f ( z )dz 2i res f ( z ).
k 1
ak
84