z 1, и все они лежат в внутри окружности z 2 . Поэтому по теореме Руше число корней исходного уравнения z z 1 0 внутри окружности z 2 равно 5. 5 2 Основные примеры и их решение 1) Вычислить вычет функции в конечной или бесконечно удалённой точке. 2) Вычислить криволинейный интеграл с помощью вычетов. 3) Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов. 4) Вычислить логарифмический вычет в точке, по границе связной области. 5) Применить принцип аргумента для определения устойчивости решения дифференциального уравнения. 6) Применить теорему Руше для определения числа корней алгебраического уравнения в заданной области. Пример 8 Определить характер всех конечных особых точек для функций (), найти вычеты в этих точках: a) () = 5 +2 4 + 3; b) () = 1− 2 ; 1 c) () = . Решение a) Функция () = 4 +2 3 + 2 имеет две особые точки = 0 и = −1. Преобразуем функцию: 1 () = 4 +2 3 + 2 = 2 ( 2 +2+1) = (+1)2. Исследуем точку = 0. Для этого перепишем функцию в виде () = 1 (+1)2 . Получаем, что 1 вспомогательная функция () = (+1)2 является аналитической в окрестности точки = 0 и (0) = 1 ≠ 0. Следовательно, по определению точка = 0 является полюсом 1–го порядка, или простым полюсом. Аналогично исследуем точку = −1, переписав функцию в следующем виде: () = 94 1 (+1)2 .