Пусть M – упорядоченное множество из n элементов. Всякое биективное преобразование множества M называется подстановкой n-й степени. 1 2 n , где ik 1, 2, ..., n , k 1, 2, ..., n и Подстановки записывают так: i1 i2 in все ik различны. Подстановка называется четной, если обе ее строки (перестановки) имеют одинаковую четность, т.е. либо обе четные, либо обе нечетные. В противном случае подстановка называется нечетной. n! При n 2 число четных и нечетных подстановок n-й степени одинаково и равно . 2 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В задачах 1-6 определить число инверсий в перестановках. 1. (6, 3, 1, 2, 5, 4) . 2. (1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8) . 3. (1, 3, 5,..., 2n 1, 2, 4, 6,..., 2n) . 4. (2, 4, 6,..., 2n, 1, 3, 5,..., 2n 1) . 5. (1, 4, 7,..., 3n 2, 2, 5, 8,..., 3n 1, 3, 6, 9,..., 3n) . 6. (3, 6, 9,..., 3n, 2, 5, 8,..., 3n 1, 1, 4, 7,..., 3n 2) . 7. В какой перестановке чисел 1, 2, 3,..., n число инверсий наибольшее и чему оно равно? 8. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на k -м месте перестановки? 9. Сколько инверсий образует число n, стоящее на k -м месте перестановки чисел 1, 2,..., n ? 1 2 3 4 5 1 2 10. Перемножить подстановки: 2 4 5 1 3 5 3 11. Найти подстановку X из равенства A X B C , где 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 , В А 7 3 2 1 6 5 4 3 1 2 7 4 3 4 5 . 4 1 2 6 7 1 2 3 4 5 6 7 , С . 5 6 5 1 3 6 4 7 2 §2. Определение определителя. Свойства определителей а11 а12 называется Определителем квадратной матрицы А второго порядка А а21 а22 число А а11а22 а12а21 . Определитель матрицы называют также детерминантом. Для определителя матрицы А используют следующие обозначения: А , det А , А . a11 a12 a13 Определителем квадратной матрицы A a21 a22 a23 третьего порядка называют a 31 a32 a33 число А а11а22а33 а12а23а31 а21а13а32 а13а22а33 а21а12а31 а32а23а11. 11