ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Проверить, является ли следующее множество векторов плоскости действительным линейным пространством: a) множество R всех векторов плоскости; b) множество S всех радиус-векторов точек первой четверти прямоугольной декартовой системы координат; c) множество T всех радиус-векторов точек плоскости, составляющих данную прямую; d) множество всех векторов плоскости, за исключением векторов, параллельных данной прямой. Доказать, что множество S матриц порядка n с действительными элементами составляет действительное линейное пространство. Является ли множество M n симметрических матриц порядка n c действительными элементами действительным линейным пространством? Является ли множество M mn всех матриц размера m n c элементами из R относительно обычных операций сложения матриц и умножения матриц на число действительным линейным пространством? Является ли множество чисел из отрезка [0;1] числовой прямой относительно обычных операций сложения и умножения чисел линейным пространством над полем R ? Является ли множество векторов плоскости (пространства) с рациональными координатами относительно обычных операций сложения и умножения векторов на число линейным пространством над полем R ? Является ли множество монотонно возрастающих на числовой оси функций относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число линейным пространством над полем R ? Является ли линейным пространством над полем Q рациональных чисел множество чисел вида a b 2 , где a и b – рациональные числа? Является ли линейным пространством над R множество отрицательных действительных чисел? Является ли линейным пространством над R множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, с концами на прямой y kx ? Является ли линейным пространством над R множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, с концами на прямой y kx b , где b 0 ? Является ли линейным пространством над R множество многочленов степени n (включая нулевой многочлен) с действительными коэффициентами? Является ли линейным пространством над R множество многочленов степени n с действительными коэффициентами? 33