§2. Линейная комбинация системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Эквивалентные системы векторов Системой векторов линейного пространства L называется любая совокупность его векторов. Пусть a1 ,..., an , где an L, i 1, n – система векторов. Вектор, который можно представить в виде 1a1 ... n an , называется линейной комбинацией векторов a1 ,..., an . Числа 1 ,..., n называются коэффициентами этой линейной комбинации. Линейную комбинацию 1a1 ... n an назовем нетривиальной, если среди i , i 1, n существует хотя бы одно отличное от нуля. В противном случае линейную комбинацию назовем тривиальной. Очевидно, что нетривиальных комбинаций для одной и той же системы векторов существует бесконечное множество. Пусть b – некоторый вектор пространства L . Говорят, что b является линейной комбинацией системы векторов a1 ,..., an , если найдутся числа 1 , ..., n , для которых b 1a1 ... n an . Множество всех линейных комбинаций данной системы векторов a1 ,..., an называется линейной оболочкой этой системы и обозначается La1 ,..., an или L a1,..., an . Таким образом, b a1 ,..., an b 1a1 ... n an для некоторого набора 1, ..., n . Две системы векторов называются эквивалентными, если любой вектор первой системы линейно выражается через векторы второй системы, а любой вектор второй системы линейно выражается через векторы первой системы. Иными словами, линейные оболочки этих систем векторов должны совпадать. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Даны векторы в 4 A : a1 (1, 0, 1, 0) , a2 (3, 2, 0, 1) , a3 (2, 2, 1, 1) , a4 (0, 2, 3, 1). a) Вычислить линейные комбинации векторов: b1 3a1 a2 3a3 2a4 ; b2 a1 a2 2a3 a4 ; b3 a1 a2 a3 a4 . b) Представить вектор в виде линейной комбинации других векторов: a4 через a1 , a2 , a3 ; a3 через a1 , a2 , a4 . ; c) a4 через a1 , a2 ; a3 через a1 , a2 . Записать следующие условия в виде систем линейных уравнений относительно переменных 1, ..., 4 и решить их: 1a1 2a2 3a3 4a4 0 ; 2. 3a3 4 a4 a1 ; 1a1 2a2 (15, 8, 3, 4) ; 1a1 2a2 3a3 0 . 5 Описать линейные оболочки следующих систем векторов в пространстве A : a) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1); b) (0, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 2). 34