Решение. Так как система векторов a1, ..., an , b линейно зависима, то найдутся такие числа 1,.., n , , из которых хотя бы одно отлично от нуля, и имеет место равенство (***) 1a1 .. n an b 0 . В равенстве (***) 0 . Действительно, при 0 система a1 , ..., a n была бы линейно зависимой. Из соотношения (***) получаем b 1a1 .. n an n 1 или b a1 .. an . 1 n n . Обозначим 1, , Получим b 1a1 .. n an . ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. Система, состоящая из одного вектора а , линейно зависима тогда и только тогда, когда, а0. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда, векторы пропорциональны (т.е. один из них получается из другого умножением на число). Если к линейно зависимой системе добавить вектор, то получится линейно зависимая система. Если из линейно независимой системы удалить вектор, то полученная система векторов линейна независима. Если система S линейно независима, но становится линейно зависимой при добавлении вектора а , то вектор а линейно выражается через векторы системы S . Если векторы a1 ,..., ak линейно независимы и вектор b не является их линейной комбинацией, то система векторов a1,..., ak , b линейно независима. n Доказать, что в пространстве A линейно независимы следующие системы векторов: a) e1 (1, 0, 0,..., 0) , e2 (0, 1, 0,..., 0) , …, en (0, 0, 0,..., 1) ; f1 (1, 1, 1,..., 1) , f 2 (0, 1, 1,..., 1) , …, f n (0, 0, 0,..., 1) . Установить линейную зависимость или независимость следующих систем векторов в соответствующих векторных пространствах: a) система векторов a1 (2, 9, 1) , a2 (2, 2, 3) , a3 (1, 2, 3) трёхмерного пространства; b) система векторов a1 (1, 1, 1, 0, 0) , a2 (1, 0, 1, 0, 1) , a3 (1, 0, 0, 1, 0) b) 9. 5 10. 11. арифметического пространства A ; 1 2 4 1 3 4 , , в пространстве матриц второго порядка. c) система матриц 3 4 2 3 1 2 Пусть система векторов а , b , c векторного пространства линейно независима. Докажите линейную независимость следующих систем векторов: a) а b, b , c; b) а b , b , c , где – произвольное число; c) а b, a c , b c. Пусть а , b , c – три вектора на плоскости, из которых можно сложить треугольник. Будут ли эти векторы линейно зависимы? 37