12. Даны два вектора: a1 (1, 2, 3, 4) , a2 (0, 0, 0, 1) . Подобрать ещё два четырёхмерных вектора a3 и a4 так, чтобы система a1 , a2 , a3 , a4 была линейно независимой. §4. Базис системы векторов. Размерность линейного пространства. Ранг матрицы. Ранг системы векторов Пусть S – некоторая система векторов линейного пространства. Базисом этой системы называется такая её линейно независимая подсистема S 0 , в которой всякий вектор из S линейно выражается через векторы системы S 0 . Эквивалентное определение: базис системы векторов S – это такая линейно независимая подсистема S 0 системы S , которая становится линейно зависимой при добавлении любого вектора из S . Число векторов (какого-либо) базиса системы векторов называется рангом этой системы. Утверждения: 1) Пусть S – некоторая система векторов и S 0 – её линейно независимая подсистема. Тогда S 0 можно дополнить до базиса системы S . Любое линейное пространство имеет базис. Пусть a1 ,..., ak и b1 ,..., bs – два базиса одной и той же системы векторов. Тогда k s . Если в линейном пространстве L существует базис из конечного числа векторов, то пространство L называют конечномерным, а число векторов базиса - размерностью пространства L (и обозначают dim L ). Если L – линейное пространство над полем P , то его нулевой вектор сам составляет линейное пространство над полем P . Это линейное пространство обозначается O и называется нулевым линейным пространством. Так как нулевое линейное пространство состоит из одного нулевого вектора, в нем нет линейно независимых векторов и нет максимально линейно независимой системы векторов. Нулевое линейное пространство называется линейным пространством размерности 0. Утверждения: Пусть L – линейное пространство размерности n. Тогда 1) Если система векторов S L линейно независима и состоит из n векторов, то S – базис пространства L . 2) Любая система векторов S L , состоящая более чем из n векторов, линейно зависима. n dim A n при любом n 1. 3) 4) Элементарные преобразования системы векторов не изменяют ранга этой системы. 5) Всякая линейно независимая система векторов линейного пространства L , n 1 , содержится в некотором базисе L . 6) Если a1 ,..., an – базис линейного пространства L , то любой вектор b L можно разложить по базису, т.е. представить в виде b 1a1 .. n an . Это разложение для b единственно. Коэффициенты 1 ,..., n называются координатами вектора b в базисе a1 ,..., an . Рангом матрицы называют ранг системы ее столбцов. Ранг матрицы соответствует наивысшему порядку отличных от нуля миноров этой матрицы. Такие миноры называют базисными. Столбцы матрицы, на которых располагается хотя бы один базисный минор этой матрицы, линейно независимые. Их называют базисными столбцами матрицы. Если ранг матрицы равен числу ее столбцов, то все столбцы матрицы линейно независимые. Ранг матрицы можно определять как ранг системы ее строк. Ранг матрицы по строкам совпадает с ее рангом по столбцам. Базисные строки матрицы определяются так же, как ее базисные 2) 3) 38