столбцы. Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод окаймления, который состоит в следующем: находят какой-либо минор первого или второго порядка, отличный от нуля, и вычисляют окаймляющие его миноры следующего порядка. Если среди них найдется отличный от нуля, то окаймляют его. Пусть уже найден таким способом минор r -го порядка, отличный от нуля. Тогда вычисляют его окаймляющие миноры ( r 1) -го порядка. Если все они окажутся равными нулю, то ранг матрицы равен r . Для определения ранга системы векторов a1, a2 ,..., as следует эти векторы представить в виде столбцов (или строк) матрицы и вычислить её ранг. Это и будет ранг системы рассматриваемых векторов. По базисным минорам легко выделяются все максимальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов. Утверждения: n 1) Пусть в пространстве R задана система векторов a1 , a2 ,..., a p и матрица A с p строками и n столбцами, i -я строка которой состоит из компонент вектора ai , i 1, 2,..., p , a) ранг системы векторов a1 , a2 ,..., a p совпадает с рангом матрицы A ; b) если матрица A подобна ступенчатой матрице B , тогда ранг системы векторов a1 , a2 ,..., a p равен числу ненулевых строк матрицы B ; c) если p n , то система a1 , a2 ,..., a p является базисом пространства R тогда и только n тогда, когда A 0 . 2) Ранг r системы a1,..., an , b совпадает с рангом системы векторов a1 ,..., an тогда и только тогда, когда b a1,..., an . Если при этом r = n, то вектор b единственным образом выражается в виде линейной комбинации векторов a1 ,..., an . 2 1 3 2 4 Пример 1. Найти ранг матрицы 4 2 5 1 7 методом окаймления миноров. 2 1 1 8 2 Решение. Рассмотрим ненулевой минор первого порядка матрицы M1 2 0 . Найдем окаймляющие миноры для M1 . Будем анализировать окаймляющие миноры 2-го порядка до тех пор, пока не найдем отличный от нуля минор. Если все рассматриваемые миноры 2-го порядка все будут равны нулю, то ранг данной матрицы будет равен 1. 2 3 2 1 M3 M2 2 0 . 0 (пропорциональны строки), 4 5 4 2 Значит, r ( А) 2 . Рассмотрим окаймляющие миноры для M 3 . 2 1 3 M 4 4 2 5 0 (пропорциональны строки), 2 1 1 2 3 2 2 3 2 M 5 4 5 1 0 1 5 0 (пропорциональны строки), 2 1 8 0 2 10 2 3 4 2 3 2 M 6 4 5 7 0 1 1 0 (пропорциональны строки). 2 1 2 0 2 2 39