Поскольку все окаймляющие миноры 3-го порядка для M 3 равны нулю, ранг матрицы равен порядку наивысшего отличного от нуля минора 2-го порядка (порядку минора M 3 ), т.е. r ( А) 2 . 25 31 17 43 75 94 53 132 Пример 2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных 75 94 54 134 25 32 20 48 преобразований. Решение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число; перестановка двух строк (столбцов). При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. 25 31 17 43 25 31 17 43 25 31 17 43 3 0 1 2 3 75 94 53 132 0 1 2 ~ ~ . А 0 1 3 5 75 94 54 134 0 0 1 2 25 32 20 48 0 1 3 5 0 0 0 0 Ранг данной матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице, т.е. r ( А) 3 . Пример 3. Найти все базисы системы векторов: a1 (2, 1, 3, 1) , a2 (4, 2, 6, 2) , a3 (6, 3, 9, 3) , a4 (1, 1, 1, 1) . Решение. Построим из координат векторов матрицу по столбцам: 4 6 1 2 2 3 1 1 А= . 3 6 9 1 1 2 3 1 Для нахождения всех базисов данной системы векторов необходимо выделить все базисные миноры построенной матрицы. Найдем ранг этой матрицы с помощью элементарных преобразований: 4 6 6 6 6 1 1 4 2 1 4 2 2 1 4 2 2 3 3 1 1 2 1 0 2 3 1 0 2 3 1 1 ~ ~ ~ . 3 6 9 1 1 6 9 3 0 10 15 5 0 0 0 0 1 2 3 0 3 1 1 2 1 0 2 3 1 0 0 0 Таким образом, ранг данной матрицы соответствует числу ненулевых строк в ступенчатой матрице, т.е. r ( А) 2 . Первый столбец ступенчатой матрицы соответствует координатам вектора a4 , второй – a2 , третий – a3 , четвёртый – a1 . В любом базисе данной системы векторов будет два вектора. Базисными минорами являются 1 4 1 6 1 2 M1 0 , M2 0 , M3 0 . 0 2 0 3 0 1 Остальные миноры второго порядка равны нулю, поэтому базисными быть не могут. Базисами данной системы векторов являются векторы: 1) a2 , a4 , 40