§5. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в базисе Пусть в некотором линейном пространстве L зафиксирован базис e (e1, e2 ,..., en ) . Если х L , то найдутся числа x1 , x2 , .., xn , для которых x x1е1 x2е2 ... xn еn . Упорядоченный набор x1 , x2 , .., xn называется набором координат вектора х в базисе e (e1, e2 ,..., en ) . Утверждения: 1. Координаты вектора в заданном базисе определены единственным образом. 2. При сложении векторов соответствующие координаты слагаемых складываются. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Пример 1. Найти координаты многочлена 2 n f(x) a0 a1 x a2 x ... an x 2 n a) в базисе 1, x, x ,..., x ; b) в базисе 1, ( x 1), ( x 1) ,..., ( x 1) , выяснив, что многочлены действительно образуют базис. Решение. 2 n a) Докажем, что многочлены 1, x, x ,..., x (*) составляют базис пространства всех многочленов степени n ( Pn [x] ). Для этого сначала покажем, что система многочленов (*) линейно независима. Пусть n α0 , α1, ..., αn – такие числа из поля P , при которых α0 1 α1 x ..., αn x 0 . Тогда по определению равенства многочленов α0 α1 ... αn 0 . Значит, система многочленов (*) линейно независима. Покажем теперь, что система многочленов (*) составляет базис пространства Pn [x] . Для любого f(x) Pn [x] имеем: 2 n f(x) 0 1 1 x 2 x ... n x . Следовательно, f(x) является линейной комбинацией системы многочленов (*). Тогда система 2 2 n n 1, x, x ,..., x , f(x) линейно зависима. Таким образом, система многочленов (*) составляет базис пространства Pn [x] . Значит, согласно определению координат вектора в базисе, данный многочлен 2 n 2 n f(x) a0 a1 x a2 x ... an x имеет в базисе 1, x, x ,..., x координаты α0 , α1, ..., αn . b) Докажем, что многочлены 1, ( x 1), ( x 1) ,..., ( x 1) (**) составляют базис пространства Pn [x] . Для этого сначала покажем, что система многочленов (**) линейно независима. Пусть n α0 , α1, ..., αn – такие числа из поля P , что α0 1 α1 x 1 ..., αn x 1 0 . Тогда по определению равенства многочленов α0 α1 ... α n 0 . Значит, система многочленов (**) линейно независима. Покажем теперь что система многочленов (**) составляет базис пространства Pn [x] . Для любого f(x) Pn [x] имеем: 2 n f(x) 0 1 1 ( x 1) 2 ( x 1) ... n ( x 1) . Следовательно, f(x) является линейной комбинацией системы многочленов (**). Тогда 2 система 1, ( x 1), ( x 1) ,..., ( x 1) , f(x) линейно зависима. Таким многочленов (**) составляет базис пространства Pn [x] . Согласно определению координат вектора в базисе, многочлен 2 n 42 n образом, система