f(x) a0 a1 x a2 x ... an x b0 1 b1 ( x 1) b2 ( x 1) ... bn ( x 1) 2 n 2 базисе 1, ( x 1), ( x 1) ,..., ( x 1) координаты b0 , b1, ..., bn , где bk 2 n f n имеет в (k ) (1) при k 0, 1, 2, ..., n k! . ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. 2. Найти координаты вектора x ( 6, 0, 5 ) пространства R в базисах a) (3, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1); b) (1, –1, 0), (1, 2, 3), (0, 1, –1). Показать, что система векторов e1 (1, 0, 1, 0) , e2 (1, 1, 0, 0) , e3 (0, 1, 1, 1) , 3 e4 (0, 0, 1, 1) является базисом пространства 4 A . Найти координаты вектора a (1, 2, 3, 4) в этом базисе. 3. Разложить векторы x (2, 6, 6, 8) и y (0 , 0 , 0, 8) по базисам e1 (1, 6, 2, 3) , e2 (1, 9, 7, 8) , e3 (2, 6, 7, 2) , e4 (1, 6, 3, 3) ; a) b) 4. e1 (1, 3, 4, 2) , e2 (2, 7, 6, 2) , e3 (2, 8, 2, 5) , e4 (1, 3, 4, 2) . Найти координаты вектора f(x) x 5x 6 пространства многочленов степени ≤ 3 в базисах: 2 3 2, x, 2 x , x ; a) 2 b) 1, x 1, ( x 1) , ( x 1) . 2 3 §6. Подпространство, его базис и размерность Пусть L – линейное пространство над полем P и A – подмножество из L . Может оказаться, что A само составляет линейное пространство над полем P относительно тех же операций, что и L . Тогда A называют подпространством пространства L . Согласно определению линейного пространства, чтобы A было подпространством, надо проверить выполнимость в A операций, т.е. 1. a, b A : a b A , 2. (a A)(k P) : ka A , и проверить, что операции в A подчинены восьми аксиомам. Однако последнее будет излишним (в силу того, что эти аксиомы выполняются в L ), т.е. справедлива Теорема. Пусть L линейное пространство над полем P и A L . Множество A тогда и только тогда является подпространством L , когда выполняются следующие требования: 1. a, b A : a b A , 2. (a A)(k P) : ka A . Утверждение. Если L – n-мерное линейное пространство и A его подпространство, то A также конечномерное линейное пространство и его размерность не превосходит n. Пример 1. Является ли подпространством пространства векторов-отрезков V2 множество S всех векторов плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат - Ox или Oy ? 43