2 3 1 5
3 1 2 7
К 4 1 3 6 ,
3 4 5 7
2 3 3 2
2 3 1
М 3 3 1 2 0 ,
4 1 3
2 3 1 5
3 1 2 7
М4
0.
4 1 3 6
2 3 3 2
r ( K ) 4 r n система имеет единственное нулевое решение. Поэтому А В 0 .
Базиса подпространства А В 0 нет.
Пусть в L имеем подпространства A и B . Может оказаться, что А В 0 . Тогда сумма
подпространств A и B называется прямой суммой и обозначается A B A B .
Подпространство A B обозначим через H : H A B , H L . Тогда записывают
H A B , если H L ,то L A B , и говорят: подпространство H (линейное пространство
L ) является прямой суммой подпространств A и B . Если L A B , то подпространства A
и B называют прямыми дополнениями друг друга в пространстве L .
Теорема. Сумма подпространств A и B тогда и только тогда является прямой, когда
размерность суммы подпространств A и B равна сумме размерностей слагаемых, т.е.
dim( A B) dim( A) dim( B) .
Пример 6. Подпространства A и B из примера 4 составляют прямую сумму, так как А В 0
.
ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
ВАРИАНТ 1
2.
Является ли линейным пространством множество всех радиус-векторов точек первой
четверти прямоугольной декартовой системы координат?
Доказать, что множество A {(1 ,0, 2 ,0) 1 , 2 R} составляет подпространство
3.
пространства A4 . Найти его базис и размерность.
Найти базис и размерность линейной оболочки
1.
векторов
a1 (5, 2, 3, 1) ,
а2 (4, 1, 2, 3), а3 (1, 1, 1, 2) , a4 (3, 4, 1, 2) .
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
x1 (1, 1, 1, 1), x2 (1, 1, 1, 1), x3 (1, 1, 1, 1);
y1 (1, 1, 1, 1) , y2 (2, 2, 0, 0) , y3 (3, 1, 1, 1) .
ВАРИАНТ 2
1.
Является ли линейным пространством множество всех радиус-векторов точек,
образующих данную прямую. Найти его базис и размерность.
52