1 1 2 2 a е а ( e , e ,..., e ) . a eа е (e1 , e2 ,..., en ) и 1 2 n е ... ... n n Тогда, с одной стороны, a eа е , а с другой стороны a еае (e T )ае Из этих равенств получаем: a eае eT ае . Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису e вытекает равенство ае T ае (3), или 1 1 2 2 T (4) ... ... n n Соотношения (3) и (4) называют формулами преобразования координат при изменении базиса линейного пространства. Они выражают старые координаты вектора через новые. Эти формулы можно преобразовать относительно новых координат вектора, умножив (4) слева на 1 (такая матрица существует, так как T – невырожденная матрица). Тогда получим T 1 ае T ае . По этой формуле, зная координаты вектора в старом базисе е линейного пространства Ln , можно найти его координаты в новом базисе, е . Часто векторы базисов е и е сами бывают заданы координатами в некотором базисе е . Тогда матрица перехода от базиса е к базису е находится по формуле 0 e e Te0 e , 0 отсюда получаем формулу 1 e eTe0 e . 0 e e Te0 e отсюда получаем формулу 0 1 eTe0 e Te e e 1 Te0 e Te0 e 0 1 Tee Te0 e Te0 e . , (5) 2 1 Пример 1. Найти матрицу перехода к базису e1 , e2 , если векторы заданы своими 3 2 координатами в базисе e (e1, e2 ) . Решение. Векторы нового базиса: e (e1 , e2 ) - заданы своими координатами в старом базисе: e (e1, e2 ) , т.е. е e T . 2 e1 (e1 , e2 ) 2e1 3e2 , 3 1 e2 (e1 , e2 ) 1e1 2e2 . 2 По определению матрицы перехода получаем Te e 58 2 1 . 3 2