2. Убедиться, что векторы a1 (1, 2) , a2 (3, 5) образуют базис пространства A2 . Найти координаты вектора x (3, 4) в базисе a1 , a2 . 3. 1 1 1 Матрица M 0 1 1 является матрицей перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису 0 0 1 a1 , a2 , a3 . Найти координаты вектора b 3a1 a2 a3 в базисе e1 , e2 , e3 . ВАРИАНТ 12 1. 1 2 1 Матрица M 0 1 1 является матрицей перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису 0 0 1 a1 , a2 , a3 . Найти координаты векторов e1 , e2 , e3 и вектора x 2e1 e2 x=2e1–e2 в базисе a1 , a2 , a3 . 2. Даны два базиса линейного пространства A2 двумерных векторов: a1 (3, 4) , a2 (1, 1) и b1 (2, 5) , b2 (1, 3) . Найти матрицу перехода от второго базиса к первому. 3. 2 3 В пространстве многочленов P3 найти матрицу перехода от базиса 1, x, x , x к базису 5, 2 x 3, ( x 3) , ( x 2) . 2 3 ВАРИАНТ 13 1. Убедиться, что векторы a1 (1, 2, 3) , a2 (4, 2, 8) , a3 (1, 4, 1) образуют базис 2. линейного пространства A3 . Найти координаты вектора (1, 0, 5) в базисе a1 , a2 , a3 . В пространстве многочленов, степени которых не превосходят 2, найти матрицу перехода 2 2 от базиса x 3x 2, 2 x 3, 3 к базису 1, 3x 2, x 4 x . 3. Даны два базиса линейного пространства A2 двумерных векторов: a1 (1, 2) , a2 (3, 5) и b1 (2, 1) , b2 (3, 4) . Найти матрицу перехода от базиса a1 , a2 к базису b1 , b2 . Раздел 6. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАНГОВ ИХ МАТРИЦ Метод Гаусса имеет ряд недостатков: нельзя узнать, совместна система или нет, пока не будут проведены все преобразования, необходимые при использовании метода Гаусса; метод Гаусса не пригоден для систем с буквенными коэффициентами. Рассмотрим другие методы решения систем линейных уравнений. Применение этих методов предполагает использование понятия ранга матрицы и сведение решения любой совместной системы к решению системы, к которой применимо правило Крамера. Пример 1. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений с помощью фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и частного решения неоднородной системы: 66