Выяснили, что преобразование – линейное. Чтобы записать матрицу этого преобразования в базисе е (е1, е2 , е3 ) , нужно найти образы базисных векторов. Пусть базисные векторы имеют координаты (задали базис): е1 (1,0,0) , е2 (0,1,0) , е3 (0,0,1) . Находим [(1,0,0)] e1 (0,1,2) 0 e1 1 e2 2 e3 , [(0,1,0)] e2 (1,0,1) 1 e1 0 e2 1 e3 , [(0,0,1)] e3 (1,0,1) 1 e1 0 e2 1 e3 , 0 1 1 т.е. Аe 1 0 0 . 2 1 1 1 1 2 Пример 7. Дана матрица линейного преобразования в базисе е1, е2 , е3 , А 1 0 1 . 1 1 0 Найти образ вектора х 2е1 3е2 е3. Решение. х1 х1 1-й способ. Используя формулу, получим х2 А х2 х х 3 3 или х1 1 1 2 2 1 2 1 (3) 2 1 1 х 2 1 0 1 3 1 2 0 (3) 11 3 , х 1 1 0 1 1 2 1 (3) 0 1 1 3 т.е. х е1 3е2 е3 . 2-й способ. Исходя из определения матрицы линейного преобразования и свойства линейного преобразования, имеем: х (2е1 3е2 е3 ) 2 (е1 ) 3 (е2 ) (е3 ) 2(1,1,1) 3(1,0,1) (2,1,0) (1,3,1) . 1 1 . Найти Пример 8. Линейное преобразование в базисе а1, а2 имеет матрицу А 1 1 его матрицу в базисе е1 2а2 а1, е2 а2 а1 . Решение. Обозначим через В матрицу преобразования в базисе е1,е2 . Тогда имеем 1 В Т АТ . Из условия задачи ясно, что матрица перехода от базиса а1, а2 к е1,е2 имеет вид 1 1 . Т 2 1 Найдем Т 1 1 1 , тогда 2 1 1 1 1 1 1 1 4 2 . В 2 1 0 1 2 1 7 4 80