Собственным вектором линейного преобразования называется всякий ненулевой вектор Х , удовлетворяющий условию Х 0 Х , где 0 – число. Число 0 называется собственным значением преобразования , соответствующим данному собственному вектору Х . Равенство AХ Х можно переписать в виде ( A Е ) Х 0 , или, что то же самое, в виде (11 ) x1 ... 1n xn 0, (*) ........................................... x ... ( ) x 0. nn n n1 1 Если известно собственное значение , то все собственные векторы матрицы A , принадлежащие этому собственному значению, находятся как ненулевые решения системы (*). Вместе с тем, эта однородная система с квадратной матрицей A Е имеет ненулевые решения Х тогда и только тогда, когда определитель А Е матрицы этой системы равен нулю и принадлежит рассматриваемому полю Р . Но это означает, что является корнем характеристического многочлена А Е и принадлежит полю Р . Таким образом, характеристические числа матрицы, принадлежащие основному полю, являются её собственными значениями. Для определения всех собственных значений матрицы A нужно найти все её характеристические числа и из них выбрать лишь те, которые принадлежат основному полю Р , а для отыскания всех собственных векторов матрицы A нужно найти все ненулевые решения системы (*) при каждом собственном значении матрицы A . Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы действительной матрицы 2 4 1 А 2 2 2 . 4 2 1 Решение. Характеристический многочлен матрицы A имеет вид: 1 2 4 А Е 2 2 2 . 4 2 1 Умножим второй столбец на число (-2) и сложим с первым столбцом: 3 2 4 6 2 2 2 . 0 2 1 Прибавим третью строку к первой строке и получим 3 0 3 6 2 2 2 . 0 2 1 Умножим первый столбец на число (-1), сложим с третьим столбцом и получим 3 0 0 6 2 2 8 2 . 0 2 1 83