матрицы, у которых все собственные значения различны и их число совпадает с порядком матрицы. 1 1 Из соотношения S AS получается соотношение A SS – каноническое разложение матрицы A . 1 Если матрицу S , удовлетворяющую соотношению S AS , построить нельзя, то матрица A не приводится к диагональному виду, и, следовательно, не имеет канонического разложения. 1 1 При конструировании матрицы S для соотношений S AS и A SS нужно найти все собственные значения 1 , 2 ,..., n матрицы A и при каждом собственном значении i построить фундаментальную систему решений (ФСР) однородной системы уравнений ( A i Е ) Х 0 . Из решений ФСР, как из столбцов, составить матрицу S . Причём в матрице S столбцами записываются решения для каждого i в порядке нумерации собственных значений: 1 , 2 ,..., n (число одинаковых i соответствует их кратности). Если матрица S 1 1 окажется квадратной, то она будет удовлетворять соотношениям S AS и A SS . Если же матрица S окажется неквадратной, то матрица A не приводится к диагональному виду и, следовательно, не имеет канонического разложения. Для построения ФСР находят общее решение однородной системы уравнений: берут любой отличный от нуля определитель порядка, равного числу свободных неизвестных в системе; элементы i -й строки (столбца) этого определителя принимают соответственно за значения свободных неизвестных и находят из общего решения значения остальных (главных) неизвестных. Так делают для всех строк (столбцов) выбранного определителя. Полученные при этом частные решения составляют ФСР рассматриваемой однородной системы уравнений. Свободным неизвестным можно придавать значения из строк (столбцов) выбранного определителя в самой системе уравнений и находить соответствующие значения главных неизвестных из системы. Из этого правила вытекает, что построение ФСР однородных системы линейных уравнений неоднозначно. Поэтому будет неоднозначным и построение матрицы S для 1 1 соотношений S AS и A SS . Пример 1. Матрица линейного преобразования в некотором фиксированном базисе 3 1 1 е1 , е2 , е3 имеет вид Ae 0 2 0 . Найти собственные числа, собственные векторы 1 1 1 преобразования и (если это возможно) базис, в котором матрица имеет диагональный вид. Решение. Характеристический многочлен преобразования имеет вид 3 0 1 1 1 3 2 2 0 (2 )3 1 1 2 4 4 2 . 1 1 Так как 2 4 4 2 , то собственные значения таковы: 1 2 3 2 . Составим систему уравнений для нахождения собственных векторов, соответствующих корням 1 2 3 2 : 2 3 85