ВАРИАНТ 8 1. Дан базис e1 , e2 , e3 , e4 линейного пространства L , а линейное преобразование : L L, при котором e1 e1 e2 , e2 e2 e3 , e3 e3 e4 , e4 e4 e1 . Доказать, что векторы g1 e1 e2 , g 2 e2 e3 , g3 e1 e3 , g 4 e4 образуют базис пространства L , и составить матрицу линейного преобразования в базисе g1 , g 2 , g3 , g 4 . 2. Пусть линейное преобразование в базисе a1 (0, 1) , a2 (1, 1) имеет матрицу 3 2 1 2 . , линейное преобразование в базисе b1 (1, 3) , b2 (2, 4) - N M 1 1 2 3 Найти матрицу преобразования в базисе a1 , a2 . 3. 4. 5. 1 1 0 Матрица C 1 2 3 является матрицей линейного преобразования в базисе 3 4 2 e1 , e2 , e3 . Найти образы векторов e1 , e2 , e3 , a e1 3e2 5e3 . В пространстве A4 линейное преобразование позволяет вектор x ( x1 , x2 , x3 , x4 ) перевести в x ( x1 x2 x3 x4 , x1 x2 x3 x4 ,2 x1 2 x2 2 x3 2 x4 , x1 x2 2 x3 x4 ) . Найти базисы и размерности ядра и образа этого линейного преобразования. Найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных матрицами 0 0 6 4 5 , а) б) 12 19 24 . 7 2 6 10 13 ВАРИАНТ 9 1. В линейном пространстве L даны базис e1 , e2 , e3 и линейное преобразование : L L, при котором, что e1 e1 e2 , e2 e1 e3 , e3 e3 e2 . Доказать, что векторы g 2 e2 , g3 e3 , g1 e1 образуют базис в L , и составить матрицы линейного преобразования в базисах: e1 , e2 , e3 ; a) b) 2. g1 , g 2 , g 3 . Составить матрицы линейного преобразования линейного пространства A3 , x1 (0, 0, 1) , x2 (0, 1, 1) , x3 (1, 1, 1) позволяющего перевести векторы соответственно в векторы y1 (2, 3, 5) , y2 (1, 0, 0) , y3 (0, 1,1) в базисах: 3. a) e1 (1, 0, 0) , e2 (0, 1, 0) , e3 (0, 0, 1) ; b) x1 , x2 , x3 . 1 2 . Найти образы Линейное преобразование в базисе e1 , e2 имеет матрицу M 3 5 векторов e1 , e2 , a 3e1 5e2 . 95