ВАРИАНТ 13 1. В пространстве многочленов степени не выше 2 дано преобразование , при котором (ax bx c) ax bx . Доказать, что – линейное преобразование, и найти его матрицы в базисах 2 x , x, 1; a) 2 2 x 2 x 1, x 1, 2. b) Линейное преобразование 2 2. 1 M 2 3 B 4 3. 4. 5. в базисе a1 (3, 1) , a2 (4, 2) имеет матрицу 2 , линейное преобразование в базисе b1 (1, 2) , b2 (2, 3) - матрицу 1 4 . Найти матрицы операторов и в базисе b1 , b2 . 3 Линейное преобразование позволяет перевести векторы a1 (1, 2) , a2 (2,1) соответственно в векторы b1 (3, 1) , b2 (2, 1) . Найти матрицу этого преобразования в том базисе, в котором даны координаты всех векторов. Найти матрицу линейного преобразования в том базисе, в котором даны координаты всех векторов. В пространстве A3 линейное преобразование позволяет перевести вектор x ( x1 , x2 , x3 ) в вектор x ( x1 x2 , x2 , x1 x2 x3 ) . Найти базисы и размерности образа и ядра этого оператора. Найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных матрицами 3 2 , а) 4 6 2 12 0 б) 1 3 0 . 2 3 2 Раздел 8. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА §1. Определение евклидова пространства. Матрица Грама В действительном линейном пространстве Х определена операция скалярного умножения векторов, если любой паре векторов х, у Х поставлено в соответствие действительное число, которое называют скалярным произведением векторов х, у и обозначают символом ( х, у ) , и если для любых х, у, z Х и любого действительного числа выполняются следующие аксиомы скалярного произведения: 1) ( х, у ) ( y, x) ; 2) ( х у, z ) ( x, z ) ( y, z ) ; 3) (х, у ) ( х, у ) ; 4) ( х, x) 0 при x 0 и ( х, x ) 0 при x 0 . Пример 1. Пусть Х – пространство геометрических векторов, изучаемых в векторной алгебре. Скалярное произведение, определяемое как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. 98