Замечание. Любая матрица, обладающая свойством 4, может рассматриваться как матрица Грама. В частности, в качестве матрицы Грама можно выбрать единичную матрицу, т.е. в заданном базисе е (e1 , e2 ,..., en ) определить скалярное произведение формулой y1 y 2 T x, y x y ( x1 , x2 ,..., xn ) x1 y1 x2 y2 ... xn yn . (4) y n Теорема 1. Матрица Грама системы векторов является невырожденной только тогда, когда эта система линейно независима. Матрица Грама линейно независимой системы векторов положительно определена , в частности, имеет положительный определитель. §2. Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации Длиной х вектора х евклидова пространства E называют величину х х, х . (5) х 0 Нормировать вектор х – значит заменить его вектором x . Вектор x называют х единичным вектором, или ортом вектора х . Углом между ненулевыми векторами х и у евклидова пространства E называют угол , определяемый соотношениями х, y cos , 0 . (6) хy 0 Корректность определения угла получается из неравенств х, y 1 1 хy , равносильных неравенству Коши-Буняковского: ( x, y ) ( x, x)( y, y ) . 2 (7) Из неравенства Коши-Буняковского следует другое важное неравенство: х y x y , (8) называемое неравенством треугольника. Векторы х и у евклидова пространства E являются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. ( x, y ) 0 . Из определения ортогональности векторов следует, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Система ненулевых векторов называется ортогональной системой, если любые два вектора этой системы ортогональны. Под ортонормированной системой понимают ортогональную систему, все векторы которой имеют единичную длину (т.е. нормированы). Замечание. Любую ортогональную систему можно превратить в ортонормированную простой нормировкой, так как нормирование векторов, как и умножение на произвольные ненулевые числа, не нарушает условия их взаимной ортогональности. Например, если векторы х и у ортогональны, то в силу равенства (x, y ) ( x, y ) векторы х и у ортогональны. Теорема 2. Любая ортогональная система линейно независима. Существует специальная процедура, которая позволяет преобразовать произвольную линейно независимую систему из k векторов в ортогональную систему, также имеющую k векторов. Эту процедуру называют процессом ортогонализации. Она состоит в следующем: 100