1) полагаем b1 a1 ; 2) если векторы b1 , b2 ,..., bi 1 ( i k ) найдены, ищем ненулевой вектор bi a1 i1b1 ... i , i 1bi 1 , (9) выбирая коэффициенты i1 ,..., i , i 1 так, что бы вектор bi был ортогонален каждому из векторов b1 , b2 ,..., bi 1 . Умножим равенство (9) скалярно на вектор b j , j 1,2,..., i 1 . С учётом попарной ортогональности векторов b1 , b2 ,..., bi 1 и условия ортогональности им вектора bi получим: 0 (ai , b j ) j (b j , b j ) . Отсюда находим ai , b j ai , b j j . 2 b j , b j b j Таким образом, очередной вектор bi нужно выбирать согласно формуле bi ai ai , b1 ai , b2 ai , bi 1 ... b1 2 b2 2 bi 1 2 . (10) Процесс ортогонализации рассчитан на линейно независимые системы векторов. Но этот процесс можно модифицировать так, что станет возможным его применение и к линейно зависимым системам векторов. Если система a1 , a2 ,..., ak линейно зависима, то один из векторов, ai , является линейной комбинацией предыдущих векторов: a1 , a2 ,..., ai 1 . В результате процесса ортогонализации на i -м шаге получим нулевой вектор bi . В таком случае нужно опустить этот вектор и начать следующий шаг. В результате получим ортогональную систему векторов b1 , b2 ,..., bs , но в этой системе будет меньше векторов, чем в исходной системе: a1 , a2 ,..., ak , т.е. s k . Число s есть ранг системы векторов a1 , a2 ,..., ak . Пример 3. Применяя ортогонализацию и нормирование векторов, ортонормировать систему векторов 0 1 0 1 0 0 1 1 a2 a3 a4 , a1 1 1 1 0 0 1 0 0 считая, что в четырёхмерном евклидовом пространстве E4 скалярное произведение определено формулой (4). 1 1 Решение. Положим b1 a1 . В соответствии с формулой (9) находим b2 a2 21b1 . 0 0 Умножим скалярно обе части последнего равенства на b1 , получим: 0 (b2 , b1 ) (a2 , b1 ) 21(b1, b1 ) , откуда 101