§3. Ортонормированные базисы Базис e1, e2 ,..., en евклидова пространства E называют ортогональным базисом, если его векторы попарно ортогональны. Если векторы этого базиса, кроме того, имеют единичную длину, т.е. нормированы, то он называется ортонормированным базисом. В ортонормированном базисе e1, e2 ,..., en выполняются условия 0 при i j , ei , e j 1 при i j. (11) Теорема 3. В любом конечномерном евклидовом пространстве E существуют ортогональные и ортонормированные базисы. При этом любой вектор в E входит в состав какого-либо ортогонального базиса, а любой единичный вектор – в состав какого-либо ортонормированного базиса. Ортогональные (ортонормированные) базисы можно получить, дополняя подходящими векторами данный вектор или данную ортогональную (ортонормированную) систему векторов. Пример 4. В трёхмерном арифметическом пространстве K 3 со скалярным произведением y1 x1 x, y x1 y1 x2 y 2 x3 y3 , где x x2 , y y2 построить ортонормированный базис, y x 3 3 1 содержащий вектор e1 1 . 1 1 у1 Решение. Добавим к вектору e1 1 вектор e2 у2 , удовлетворяющий условию 1 у 3 (e1, e2 ) 0 , которое в координатах имеет вид 1 y1 1 y2 1 y3 0 . Одним из решений 1 этого уравнения является вектор e2 0 . Далее, к векторам e1 и e2 добавим вектор 1 z1 e3 z 2 , удовлетворяющий условиям (e1 , e3 ) 0 и (e2 , e3 ) 0 , которые в координатах z 3 1 z1 1 z 2 1 z3 0 имеют вид . Одним из решений этой однородной системы уравнений 1 z 0 z 1 z 0 2 3 1 1 является e3 2 . 1 Система векторов e1 , e2 , e3 является одним из ортогональных базисов в K 3 . Нормируя эти векторы, получим в K 3 ортонормированный базис: 104