Свойства ортогональных матриц 1. 2. 3. 4. Квадратная матрица Q ортогональна только тогда, когда сумма квадратов всех элементов любого её столбца (строки) равна единице, а сумма попарных произведений элементов двух любых столбцов (строк) равна нулю. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1. Матрица, обратная ортогональной матрице, тоже ортогональная. Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей. Теорема 5. В евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной. Если матрица перехода от ортонормированного базиса ко второму базису является ортогональной, то этот второй базис тоже ортонормированный. §5. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция вектора на подпространство Пусть E – евклидово пространство, а L – его подпространство. В E множество L векторов, ортогональных к каждому вектору подпространства L , называют ортогональным дополнением к подпространству L . Теорема 6. Ортогональное дополнение L к подпространству L евклидова пространства E является подпространством в E . Теорема 7. Конечномерное евклидово пространство E является прямой суммой любого своего подпространства L и его ортогонального дополнения L , т.е. ортогональное дополнение к подпространству является прямым дополнением. Следствие 1. Если подпространство L в n-мерном евклидовом пространстве E имеет размерность k , то его ортогональное дополнение L имеет размерность n k . Следствие 2. Ортогональным дополнением к подпространству L евклидова пространства E является подпространство L . Следствие 3. Если L – подпространство в евклидовом пространстве E , то любой вектор x E имеет разложение x x0 x , где x0 L , x L . Такое разложение единственно. Пример 6. В четырёхмерном пространстве E4 скалярное произведение в заданном базисе определено формулой x, y x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 . Построить ортогональное 1 1 1 1 дополнение L для подпространства L a1, a2 , где a1 , a2 . 1 1 1 1 Решение. Векторы a1 и a2 составляют базис в L . Дополним эту систему до базиса в E4 векторами b1 и b2 , удовлетворяющими условиям (a1 , bi ) 0 и (a2 , bi ) 0 и положим L1 b1,b2 . Векторы b1 и b2 являются решениями системы уравнений х1 х2 х3 х4 0, Общее решение этой системы может быть записано в виде х х х х 0 . 3 4 1 2 x ( x3 x4 , 0, x3 , x4 ) x3 (1, 0, 1, 0) x4 (1, 0, 0, 1) . 107 Эта система имеет два