Тема 1. Операции над векторами Разложение вектора по данным векторам Определение. Линейной комбинацией данной системы векторов a1 , a2 ,..., an с данным набором чисел 1 , 2 ,...,n называется сумма 1a1 2 a2 ... n an . Утверждение. Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов этой плоскости. Утверждение. Любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов этого пространства. Задачи 9. Векторы AK a и BL b совпадают с медианами треугольника ABC. Выразить векторы, совпадающие со сторонами треугольника, через a и b . 10. В правильном шестиугольнике KLMNPQ KL t , QP s . Представить векторы, совпадающие с остальными сторонами шестиугольника, в виде линейной комбинации векторов t и s . В треугольнике ABC точка M делит сторону AB в отношении 3:5, а точка K делит сторону BC в отношении 3:1. Выразить вектор CM через векторы AK e1 и AC e2 . В параллелограмме ABCD точка M делит диагональ BD в отношении 2:5. Разложить вектор AC по базису AM e1 и MB e2 . В равнобедренной трапеции ABCD точка O – точка пересечения диагоналей, коэффициент подобия треугольников AOC и BOD равен k, BA e1 , OD e2 . Найти разложение вектора BC в линей- 11. 12. 13. 14. 15. ную комбинацию векторов e1 , e2 . В треугольнике ABC точка M – точка пересечения медиан, AM a , AC b . Выразить через a и b векторы AB и BC . В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны BC, а точка M – середина стороны CD, AK a , AM b . Выразить векторы BD и AD через 16. a и b. Из точки O выходят два вектора: OA a , OB b . Найти какойнибудь вектор OM , идущий по биссектрисе угла AOB. 12