Тема 1. Операции над векторами 17. 18. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD угла A. Выразить вектор AD через векторы AB и AC . В треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB, BC, AC соответственно, точка O – точка пересечения медиан ABC. Определить координаты векторов KB , BN , BC , AB , AC , KM , принимая за базисные векторы OB e1 , KN e2 . 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. Дан куб ABCDA1B1C1D1, AK k , AL l , AM m , где K, L, M– середины граней, противолежащих вершине A. Выразить через векторы k , l и m вектор PQ , где точка P делит отрезок BA1 в отношении 2:5, а точка Q делит отрезок CC1 в отношении 6:1. Медианы грани АВС тетраэдра SABC пересекаются в точке М. Выразить вектор SA через векторы SB , SC и SM . В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка K – середина ребра A1D1, точка L – середина ребра CD, точка B1 – середина отрезка MC1. Принимая векторы e1 AB , e2 AD , e3 AA1 за базисные, определить координаты векторов CK , B1 L, LM , KL, DM . Зная радиусы-векторы трех последовательных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор точки пересечения его диагоналей и радиус-вектор четвертой вершины. 1 1 Пусть ABCD – параллелограмм, e1 AB , e 2 AС . Найти ко2 3 ординаты всех вершин параллелограмма и точки пересечения его диагоналей в системе координат Ae1e2 . В пространстве заданы четыре точки: A, B, C и D. Точка E – середина AB, F – середина CD. Доказать, что EF 0,5 AC BD . В правильном восьмиугольнике ABCDEFGH AВ а , AН b . Выразить через a и b векторы, совпадающие с остальными сторонами восьмиугольника. В тетраэдре АВСD точка М – середина ребра ВС, точка Q – точка пересечения медиан грани ВСD, АВ b , АC c , АD d . Выразить через b , c и d векторы ВC , BD , CD , DM , АQ . Дан треугольник, вершинами которого являются концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной его вершины. Доказать, что точка пересечения медиан треугольника принадлежит диагонали параллелепипеда, выходящей из той же вершины, и делит эту диагональ в отношении 1:2. 13