Тема 2. Координаты вектора в АСК и ПДСК Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов Теорема. Для того чтобы a и b были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны a ║ b . Следствие. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Следствие. Для того чтобы два вектора a и b были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были не коллинеарны. Теорема. Для того чтобы система из трех векторов была линейно независима, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были некомпланарными. Теорема. Любые 4 вектора в пространстве линейно зависимы. Следствие. Для того чтобы векторы a , b , c были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны. Следствие. Нулевой вектор компланарен любой паре векторов. Задачи 28. 29. 30. Определить, какие из систем векторов являются линейно зависимыми: 1) a 3; 0 2, b 2; 5; 7 и c 4; 5; 11; 2) a 1; 4; 5, b 2; 3; 1 и c 0; 1; 2 ; 3) a 3; 0 2, b 2; 5; 7 и c 5; 5; 5. Для линейно зависимых систем предыдущего задания найти коэффициенты нулевой линейной комбинации. Найти разложение вектора d по векторам a, b и c в каждом из следующих случаев: 1) d 2; 5; 6 , a 2; 5; 4, b 3; 4; 3, c 4; 3; 8; 2) d 0; 13; 15 , a 1; 3; 4, b 1; 1;2, c 2;1;3; 3) d 6; 2; 2, a 0; 2; 4, b 2; 0; 3, c 1; 1; 0 . 31. Показать, что каковы бы ни были три вектора a , b , c и числа , , , векторы a b , b c , c a компланарны. 32. Зная разложение векторов l , m , n по трем некомпланарным векторам a, b и c , проверить, будут ли l , m , n компланарны, и в 15