Тема 3. Скалярное произведение векторов 60. Найдите косинус угла между векторами q 3m 2n и r m 4n , если известно, что m 2, n 5 , а угол = ( ̅̂ , ̅) = 0 61. 120 . Зная векторы, образующие треугольник: AB 2a 6b , BC a 7b и CA 3a b , где a и b – взаимно перпендику62. лярные орты, определить углы этого треугольника. Даны разложения векторов, служащих сторонами треугольника, по двум взаимно перпендикулярным ортам: AB 5a 2b , BC 2a 4b , CA 7a 2b . Вычислить длину медианы АМ 63. 64. 65. 66. 67. и высоты AD треугольника АВС. Зная разложение вектора q 6m 2n 3 p по трем перпендикулярным ортам, вычислить длину вектора q и углы, которые он образует с каждым из ортов m , n и p . Пусть a , b и c – ненулевые векторы. При каком их взаимном расположении справедливо равенство a b c a b c ? Найти угол α при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны. Какой угол образуют единичные векторы s и t , если известно, что векторы p s 2t и q 5s 4t взаимно перпендикулярны? Выразить длины медиан произвольного треугольника через длины его сторон. h, 68. В треугольнике АВС АВ b , АC c . Выразить вектор 69. 70. направленный по высоте АН, через векторы b и c . 2 2 Как расположены прямые АВ и АС, если ( AB AC) ( AB AC) ? Найти проекцию вектора a 10 m 2n на ось, имеющую направление вектора b 5m 12n , где m и n – взаимно перпендикулярные орты. Вычислить углы между осью проекций и единичными векторами m и n . 23