Тема 3. Скалярное произведение векторов Доказательства равенства с участием скалярного произведения Задачи 71. 72. 73. Доказать, что длины векторов a и b равны, если векторы a b и a b перпендикулярны. Доказать, что вектор d c b a a b c перпендикулярен вектору b . Дан прямоугольник ABCD и точка М (которая может лежать как в плоскости прямоугольника, так и вне её). Показать, что: 1) скалярное произведение векторов, идущих от точки М к двум несмежным вершинам прямоугольника, равно скалярному произведению векторов, идущих от той же точки к двум другим вершинам МА ∙ МC = МВ ∙ МD ; 2) сумма квадратов векторов одной пары равна сумме квадратов 2 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 2 2 2 другой пары ( МА + МC = МВ + МD ). Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма ABCD равна сумме квадратов длин всех его сторон. Доказать, что в любом треугольнике АВС имеет место соотноше2 2 2 ние ВС =АС +АВ –2АВ∙АС∙соsА. Доказать, что диагонали прямоугольника равны. Доказать, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений. Доказать, что для любых четырех точек А, В, С и D пространства имеет место равенство AB CD AC DB BC AD 0 . Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Доказать теорему о трех перпендикулярах: для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то эта прямая и плоскость взаимно перпендикулярны. 24