Тема 4. Векторное произведение векторов 101. Показать, что a b a b 2(a b ) . Выяснить геометрический смысл этого равенства. 102. Разложить вектор p 3a b 2c a b 5c по взаимно перпендикулярным ортам a , b и c , образующим правую тройку. 103. Дан вектор q 3m 4n 5 p m 6n 4 p , где m , n и p – взаимно перпендикулярные орты, образующие левую тройку. Вычислить его длину. 2 2 2 2 104. Показать, что a b a b a b . 105. Дано: a 3 , b 20 , a b 30 . Найти a b . 106. Дано: a 3 , b 26 , a b =72. Найти a b . 107. Векторы a , b и c удовлетворяют условию a b c 0 . Доказать, что a b b c c a . 108. Векторы a , b , c и d связаны соотношениями a b c d , a c b d . Доказать, что векторы a d и b c коллинеарны. 109. Доказать, что точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда AB AC 0 . 110. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю. 111. Доказать, что для любых векторов a , p , q и r векторы a p , a q , a r компланарны. 112. Три ненулевых вектора a , b и c связаны соотношениями a b c , b c a , c a b . Найти длины этих векторов и углы между ними. 113. Равносильны ли равенства a b и a c b c ? 114. Доказать, что a b c b a c c a b . 115. Показать, что если векторы a b , b c , c a компланарны, то они и коллинеарны. 116. Можно ли найти вектор x , одновременно удовлетворяющий двум условиям: x a и x a c , где a , b и c – данные векторы и α – данный скаляр? 30