Тема 5. Смешанное произведение векторов Алгебраические свойства смешанного произведения 1. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если: a) хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю; b) два из перемножаемых векторов коллинеарны; c) три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны). 2. Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного () и скалярного (·) умножения, т.е. a b с a b с . 3. Смешанное произведение не меняется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке: a b с b с a с a b . 4. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак: a b с b a с с b a a с b . 5. (a d )b c a b c d b c . 6. (a )b c (a b c ) . Задачи 141. 142. 143. 144. Вычислить произведение (̅ + ̅ + ̅)(̅ − ̅ − ̅)(̅ − ̅ + ̅). Вычислить произведение (̅ − ̅)(̅ − ̅)(̅ − ̅ ). Вычислить произведение ̅(̅ − ̅)( ̅ + ̅ + 2̅). Вычислить произведение ̅(̅ + ̅)( ̅ + 2̅), если a b с 5 . 145. Вектор c перпендикулярен векторам a и b , (a , b ) , 6 a 6 , b 3 , c 3 . Найти a b c . 146. Векторы a , b и c взаимно перпендикулярны, образуют правую тройку. Найти a b c , зная, что a 4 , b 2 , c 3 . 147. 148. a, c и удовлетворяют условию b a b b c c a 0 . Доказать, что эти векторы компланарны. Показать, что если векторы a b , b c , c a компланарны, то они и коллинеарны. Векторы 37