Тема 5. Смешанное произведение векторов 149. Даны единичные векторы (e1 , e2 ) (e3 , e1 e2 ) , e1 e2 e3 0,5 sin 2 . 150. e1 , e2 и доказать e3 . Зная, что равенство Из одной точки проведены три некомпланарных вектора a , b и c . Показать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору a b b c c a . 151. Даны три некомпланарных вектора a , b и c . Найти вектор x , удовлетворяющий системе уравнений a x , b x , cx . 152. Проверить, компланарны ли данные векторы, если a , b и c – взаимно перпендикулярные орты: a) ̅ = ̅ − 2̅ + ̅, ̅ = 3̅ + ̅ − 2̅, ̅ = 7̅ + 14̅ − 13̅; b) ̅ = 2̅ + ̅ − 3̅, ̅ = ̅ − 4̅ + ̅, ̅ = 3̅ − 2̅ + 2̅; c) ̅ = ̅ × ̅, ̅ = ̅ × ̅ , ̅ = ̅ × ̅. Вычисление объемов, высот, площадей граней, углов между ребрами и гранями фигур с использованием свойств смешанного произведения Теорема. Смешанное произведение некомпланарных векторов a , b и c равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к общему началу, взятому со знаком «+», если тройка векторов a , b , c правая, и со знаком «−», если тройка левая. Теорема. Необходимое и достаточное условие компланарности: смешанное произведение векторов a , b и c равно 0 тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Задачи 153. 154. 155. Найти объем тетраэдра, если даны длины a и b двух скрещивающихся ребер, расстояние d и угол φ между ними. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах p a b c , q a b c и r a b c . Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах: 38