Тема 5. Смешанное произведение векторов
Высота тетраэдра, опущенная на основание, образованное векторами a и b , находится по формуле
x1
H ab
Vabc
S ab
mod x 2
y1
y2
z1
z2
x3
y3
z3
y1
z1
y2
z2
2
x1
z1
x2
z2
2
.
x1
y1
x2
y2
2
Пусть четыре точки ( , , ), ( , , ), ( , , ),
( , , ), не лежащие в одной плоскости, являются вершинами тетраэдра. Если на векторах ̅̅̅̅
, ̅̅̅̅
, ̅̅̅̅
, построить параллелепипед, то
1
объем тетраэдра будет равен
объема параллелепипеда, т.е.
6
−
1
= 6 | −
−
−
−
−
−
− |,
−
где ̅̅̅̅
= { − , − , − },
̅̅̅̅
= { − , − , − },
̅̅̅̅
= { − , − , − }.
Задачи
160.
161.
162.
163.
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах ̅ =
{1, −2,1}, ̅ = {3,2,1}, ̅ = {1,0, −1}.
Даны вершины пирамиды А(5, 1, –4), В(1, 2, –1), С(3, 3, –4),
S(2, 2, 2). Найти длину высоты, опущенной из вершины S на
грань АВС.
Дан параллелепипед, построенный на векторах ̅ = {2,1, −3}, ̅ =
̅ + 2̅ + ̅, ̅ = {1, −3,1}. Найти высоту, опущенную на грань, построенную на векторах ̅ и ̅.
Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах
a 1, 2, 3, b 2, 4, 1, c 2, 1, 0 .
41