Тема 5. Смешанное произведение векторов 164. 165. 166. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках А(2, 1, –1), В(3, 0, 1) и С(2, –1, 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат. Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1, построенный на векторах АВ 4, 3, 0, АD 2, 1, 2, АA1 3, 2, 5. Найти: a) объем параллелепипеда; b) площадь грани АВСD; c) длину высоты, опущенной из вершины А1; d) угол между ребром АВ и диагональю BD1. Дана пирамида с вершинами А1(1, 2, 3), А2(–2, 4, 1), А3(7, 6, 3) и А4(4, –3, –1). Найти: a) длину ребер А1А2, А1А3, А1А4; b) площадь грани А1А2А3; c) угол между ребрами А1А3 и А1А4; d) объем пирамиды; e) длину высоты, опущенной на грань А1А2А3. Задание ПДСК в многогранниках: нахождение объемов, высот, площадей граней, углов между ребрами и гранями фигур с использованием формулы смешанного произведения в координатах Задачи 167. 168. АВСDA1B1C1D1 – параллелепипед объёма V. Точки M, N, P и Q 1 ̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅̅ заданы равенствами ̅̅̅̅̅ = 3 = ̅̅̅̅̅̅ 1 , ̅̅̅̅ = 3 1 = 6 ̅̅̅̅̅ 1 . Найти объем тетраэдра MNPQ. В правильном тетраэдре ABCD с ребром единичной длины ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Найти точку Т MNP BD и 2 = 2 = 3 объем тетраэдра АРNT. 42