Гипербола Теорема. Если r − расстояние от произвольной точки гиперболы М(х, у) до ближайшего фокуса, d − расстояние от этой же точки до од- r носторонней с этим фокусом директрисы, то отношение есть постоd янная величина, равная эксцентриситету гиперболы: r . d (7) Уравнение касательной в точке М(x0, y0), лежащей на гиперболе (2): x x0 y y0 . 1 2 2 a b (8) Теорема. Касательная к гиперболе делит угол между фокальными радиусами, идущими в точку касания, пополам. Если центр гиперболы смещен в точку С(x0, y0), но ее оси параллельны осям координат, то уравнение гиперболы имеет вид 2 2 x x 0 y y0 . (9) 1 2 2 a b При этом координаты фокусов F1(–c+x0, y0), F2(c+x0, y0), координаты вершин A1(–а+x0, y0), A2(a+x0, y0), уравнения директрис x x0 a , уравнения асимптот b y y 0 x x0 . a Задачи 42. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, зная, что: 1) расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами 10; 2) вещественная полуось равна 5 и вершины делят расстояния между центром и фокусами пополам; 3) вещественная ось равна 6 и гипербола проходит через точку (9, –4); 113