Гипербола 52. Доказать, что директриса гиперболы проходит через основание перпендикуляра, опущенного из соответствующего фокуса на асимптоту гиперболы. Вычислить длину этого перпендикуляра. 53. Вычислить полуоси гиперболы, зная, что: 1) расстояние между фокусами равно 8 и расстояние между директрисами равно 6; 2) директрисы даны уравнениями х 3 2 и угол между асимптотами прямой; 3) асимптоты заданы уравнениями у 2 х и фокусы находятся на расстоянии 5 от центра; 5 4) асимптоты заданы уравнениями у х и гипербола прохо3 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. дит через точку N(6, 9). Написать канонические уравнения двух сопряженных гипербол, зная, что расстояние между директрисами первой из них равно 7,2 и расстояние между директрисами второй равно 12,8. Определить угол между асимптотами гиперболы, у которой: 1) эксцентриситет 2 ; 2) расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами. Вычислить эксцентриситет гиперболы при условии, что угол между асимптотами равен: 1) 600; 2) 900. 2 2 х у На гиперболе 1 взята точка, абсцисса которой равна 10 25 24 и ордината положительная. Вычислить фокальные радиусы-векторы этой точки и угол между ними. 2 2 х у На гиперболе 1 найти точку, для которой: 16 9 1) фокальные радиусы-векторы перпендикулярны друг к другу; 2) расстояние от левого фокуса вдвое больше, чем от правого. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух асимптот есть величина постоянная. Через точку (2, –5) провести прямые, параллельные асимптотам ги2 2 перболы х 4 у 4 . Привести к простейшему виду уравнения гипербол: 1) 9х 2 25 у 2 18х 100 у 316 0 ; 2) 5х 2 6 у 2 10х 12 у 31 0 ; 3) х 2 4 у 2 6х 5 0 . 115