Парабола Пусть парабола задана уравнением y 2 px и точка M(x0, y0) лежит на ней. Угловой коэффициент k касательной к данной параболе определяется по формуле k p . y0 Уравнение касательной к параболе в точке М будет 2 p (3) x x0 или yy0 y0 px x0 . y y0 y0 Поскольку точка M лежит на параболе, то 2 y 0 2 px0 . 2 2 Поэтому, подставив данное выражение в (3) вместо y 0 , получим уравнение касательной к параболе y 2 px в точке M(x0, y0): 2 yy0 p x x0 . (4) Теорема. Касательная к параболе образует с осью параболы и фокальным радиусом точки касания равные углы. Если начало координат смещено в точку С(x0, y0), а ось параболы параллельна оси Oy, то уравнение параболы имеет вид: 2 x x0 2 p y y 0 . p p При этом F х 0 ; y 0 , а уравнение директрисы y y 0 . 2 2 Задачи 62. Определить координаты фокуса параболы: 2 2 2 1) y 4 x ;2) x 4 y ; 3) y 8x . 63. Составить каноническое уравнение параболы, зная, что: 1) расстояние фокуса от вершины равно 3; 2) фокус имеет координаты (5, 0), а ось ординат служит директрисой; 3) парабола симметрична относительно оси Оx, проходит через начало координат и через точку М(1, –4); 4) парабола симметрична относительно оси Оy, фокус помещается в точке (0, 2) и вершина совпадает с началом координат; 5) парабола симметрична относительно оси Оy, проходит через начало координат и через точку М(6, –2); 6) расстояние фокуса от директрисы равно 2. 2 64. Составить уравнение директрисы параболы y 6 x . 119