Поскольку существуют различные параметризации двухпараметрического гамма-распределения, определимся с этим понятием.
Определение 1. Случайная величина ξ имеет гамма-распределение
Gam(α, λ) с параметром формы α > 0 и параметром интенсивности λ > 0,
если распределение задано функцией плотности распределения
α α−1
λ x
−λx
fξ (x|α, λ) =
e , x > 0.
Γ(α)
Ей соответствует функция распределения
∫x
Fξ (x|α, λ) =
α α−1
λ t
−λt
e dt,
Γ(α)
x ≥ 0.
0
−1
Fξ (x|α, λ)
– квантильНетрудно видеть, что Fξ (x|α, λ) – интегральная и
ная функции гамма-распределения допускают представление в виде
∫x
Fξ (x|α, λ) =
α α−1
λ x
exp {−λx} dx =
Γ(α)
0
∫λx
α−1
u
exp {−u} du,
Γ(α)
0
−1
α F0 (p|α, 1)
1
−1
−1
Fξ (p|α, λ) = F0 (p|α, 1) =
λ
λ
α
,
где F0 (x|α, 1) – функция распределения Gam(α, 1), 0 0.
Доказательство. Воспользуемся свойством воспроизводимости гаммараспределения: если ξ1 , ξ2 – независимые случайные величины, имеющие
соответственно распределения Gam(α1 , λ) и Gam(α2 , λ), то их сумма имеет также гамма-распределение Gam(α1 + α2 , λ). Для этой пары случайных величин появление события {ξ1 + ξ2