{
}
вычисляются α̃b , λ̃b , i = 1, . . . , B – бутстреп-оценки параметров α, λ.
Шаг 4. Для каждой пары бутстреп-оценок α̃b , λ̃b находим τ̃b (β) – квантиль уровня β распределения Gam(λ̃b , α̃b ), b = 1, . . . , B. Тогда верхняя
(β, γ)-толерантная граница Lu:1 гамма-распределения Gam(α; λ) по выборке X1 , . . . , Xn определяется как квантиль уровня γ выборки
{τ̃b (β), b = 1, . . . , B}.
Метод, использующий обращенное разложение Корниша–Фишера
(
)
[11]. Пусть FT (t|α) – функция распределения статистики T = ln X̃/X̄ .
(
)
Как уже отмечалось выше, статистика T, X̄ является достаточной и полной, при этом T и X̄ взаимно независимы.
Обращенное разложение Корниша–Фишера Q(α, β) для квантильной
функции, включающее в себя кумулянты до 5-го порядка включительно,
определяется выражением
) ρ4 (α) ( 3
)
)
( 3
ρ3 (α) ( 2
zβ − 1 +
zβ − 3zβ −
2zβ − 5zβ +
Q(α, β) = zβ +
6
24
36
)
(
)
ρ5 (α) ( 4
ρ
(α)ρ
(α)
3
4
2
4
2
+
zβ − 6zβ + 3 −
zβ − 5zβ + 2 +
120
24
3
)
ρ3 (α) ( 4
2
+
12zβ − 53zβ + 17 ,
324
2
ρ3 (α)
i/2
κi (α)/κ2 (α), i
где ρi (α) =
= 3, 4, 5, а zβ – квантиль уровня β стандартного
нормального распределения, κi (α) – i-й кумулянт распределения случайной величины T . В случае гамма-распределения Gam(α, λ)
κ1 (α) = ln n + ψ(α) − ψ (nα) , κi (α) =
d ln Γ(α)
dα
1
n
ψ
i−1
(i−1)
(α) − ψ
(i−1)
(nα) ,
(i)
где ψ(α) =
– дигамма функция, а ψ (α) – i-я производная от ψ(α),
i = 2, 3, 4, 5.
1/2
Путем анализа графика функции h(α) = κ1 (α) + κ2 (α)Q (α, β) в [11]
установлено, что если n ≥ 5 и zβ ≤ 4, то h(α) – строго возрастающая
функция при заданном β.
Обозначим через g(T, U ) – решение уравнения
T = κ1 (α) +
1/2
κ2 (α)Q(α, U )
(4)
относительно α, где U – реализация равномерного распределения U (0; 1).
В статье [11] предложен следующий алгоритм построения толерантного интервала с использованием обращенного разложения Корниша-Фишера.
Шаг 1. По выборке X1 , . . . , Xn вычисляются статистики T и X̄.
107