4.1. Ïîíÿòèå î ñèñòåìàõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Óìíîæàÿ îòäåëüíûå óðàâíåíèÿ íà ïîäõîäÿùèå ìíîæèòåëè è ñêëàäûâàÿ, èíîãäà óäàåòñÿ ïîëó÷èòü óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå òîëüêî äâå ïåðåìåííûå xi è xj . Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, íàõîäèì îäèí èç n − 1 èíòåãðàëîâ ñèñòåìû f (xi , xj ) = C . Ïðèìåð 4.5. åøèòü ñèñòåìó ′ 2 y = y + y z, ′ z = yz +z 2 ìåòîäîì èíòåãðèðóåìûõ êîìáèíàöèé. ◭ Ñëîæèì ïåðâîå è âòîðîå óðàâíåíèÿ: ′ ′ 2 èëè 2 y +z = y +2yz +z , ′ 2 (y + z) = (x + y) . Îòñþäà d(y + z) 1 = dx ⇒ − = x + C1 . y+z y+z Òåïåðü ïîäåëèì ïåðâîå íà âòîðîå: dy y (y + z) = , dz z (y + z) èëè dy y = ⇒ y = C2 z. dz z Ïîäñòàâèì y = C2 z â ïåðâîå ðåøåíèå: 1 1 = x + C1 ⇒ z = − . − C2 z + z (C2 + 1) (x + C1 ) Òîãäà C2 y = C2 z = − . (C2 + 1) (x + C1 ) ◮  ñëó÷àå ëèíåéíîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè èíòåãðèðóåìàÿ êîìáèíàöèÿ åñòü óðàâíåíèå ñ ðàçäåëåííûìè ïåðåìåííûìè, â ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû ëèíåéíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà. Êàæäàÿ èíòåãðèðóåìàÿ êîìáèíàöèÿ äàåò îäèí ïåðâûé èíòåãðàë; åñëè ÷èñëî èõ ðàâíî ÷èñëó óðàâíåíèé ñèñòåìû, òî èíòåãðèðîâàíèå çàêîí÷åíî; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ìû ïîëó÷àåì ñèñòåìó ñ ìåíüøèì ÷èñëîì íåèçâåñòíûõ óíêöèé.  ñëó÷àå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (îäíîðîäíûõ èëè íåîäíîðîäíûõ) ñòàðàþòñÿ, êîìáèíèðóÿ äàííûå óðàâíåíèÿ, îáðàçîâàòü òàêîå âûðàæåíèå èç 145